ตัวอย่างของระบบสมการเชิงเส้น: วิธีการแก้

ระบบสมการมีการใช้กันอย่างกว้างขวางแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เชิงเศรษฐศาสตร์ของกระบวนการต่างๆ ตัวอย่างเช่นเมื่อมีการจัดการงานด้านการจัดการและการวางแผนการผลิตเส้นทางการขนส่ง (งานขนส่ง) หรือการจัดวางอุปกรณ์

ระบบสมการไม่เพียง แต่ใช้ในด้านคณิตศาสตร์ แต่ยังรวมถึงฟิสิกส์เคมีและชีววิทยาในการแก้ปัญหาในการหาขนาดของประชากร

ระบบสมการเชิงเส้นเรียกว่าสองตัวหรือมากกว่าสมการที่มีหลายตัวแปรซึ่งจำเป็นต้องหาทางออกทั่วไป ลำดับของตัวเลขที่สมการทั้งหมดกลายเป็น equities จริงหรือพิสูจน์ว่าลำดับไม่มี.

สมการเชิงเส้น

สมการของแกนแบบ + โดย = c เรียกว่าเส้นตรง สัญกรณ์ x, y ไม่เป็นที่รู้จักค่าที่ต้องพบ b, a เป็นค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร c คือระยะฟรีของสมการ
การแก้สมการโดยการสร้างกราฟของมันจะมีรูปแบบของเส้นตรงจุดทั้งหมดของจุดนี้เป็นทางออกของพหุนาม

ประเภทของสมการเชิงเส้น

ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดคือระบบสมการเชิงเส้นที่มีสองตัวแปรคือ X และ Y

F1 (x, y) = 0 และ F2 (x, y) = 0 โดยที่ F1 2 เป็นฟังก์ชันและ (x, y) เป็นตัวแปรฟังก์ชัน

แก้สมการสมการ - นี่หมายความว่าหาค่า (x, y) ที่ระบบเปลี่ยนเป็นความเสมอภาคที่ถูกต้องหรือระบุว่าไม่มีค่า x และ y ที่เหมาะสม

คู่ของค่า (x, y) เขียนในรูปของพิกัดของจุดเรียกว่าการแก้ปัญหาของระบบสมการเชิงเส้น

ถ้าระบบมีโซลูชันหรือโซลูชันร่วมกันหนึ่งตัวไม่มีอยู่ระบบจะเรียกว่าเทียบเท่า

ระบบสมการเชิงเส้นของสมการเชิงเส้นคือระบบที่มีด้านขวาเท่ากับศูนย์ ถ้าด้านหลังเครื่องหมายของส่วน "ความเสมอภาค" มีค่าหรือแสดงโดยฟังก์ชันระบบดังกล่าวจะไม่เป็นเนื้อเดียวกัน

จำนวนตัวแปรสามารถมีขนาดใหญ่กว่าสองจากนั้นเราควรพูดถึงตัวอย่างของระบบสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรสามตัวหรือมากกว่า

เผชิญหน้ากับระบบของเด็กนักเรียนแนะนำ,ว่าจำนวนสมการจำเป็นต้องสอดคล้องกับจำนวนที่ไม่รู้จัก แต่ก็ไม่เป็นเช่นนั้น จำนวนของสมการในระบบไม่ขึ้นอยู่กับตัวแปรสามารถมีได้มากเท่าที่พวกเขาต้องการ

วิธีง่ายและซับซ้อนในการแก้สมการสมการ

ไม่มีวิธีการวิเคราะห์ทั่วไปการแก้ปัญหาของระบบดังกล่าววิธีการทั้งหมดจะขึ้นอยู่กับการแก้ปัญหาเชิงตัวเลข ในวิชาคณิตศาสตร์ของโรงเรียนมีการอธิบายวิธีการต่างๆเช่นการเปลี่ยนรูปพีชคณิตการบวกการทดแทนรวมถึงวิธีการแบบกราฟิกและเมทริกซ์วิธีแก้ปัญหา Gauss อธิบายไว้ในรายละเอียด

งานหลักในการสอนวิธีการแก้ -มันคือการสอนวิธีการวิเคราะห์ระบบอย่างถูกต้องและหาวิธีแก้ปัญหาที่ดีที่สุดสำหรับแต่ละตัวอย่าง สิ่งสำคัญคือไม่ต้องจดจำระบบกฎและการดำเนินการสำหรับแต่ละวิธี แต่ต้องเข้าใจหลักการของการใช้วิธีนี้หรือวิธีการนั้น

การแก้ปัญหาตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้น 7ชั้นเรียนของโครงการโรงเรียนทั่วไปค่อนข้างง่ายและอธิบายในรายละเอียดมาก ในตำราคณิตศาสตร์ใด ๆ ส่วนนี้ได้รับความสนใจมากพอสมควร การแก้ปัญหาของตัวอย่างของระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีการของ Gauss and Kramer ศึกษาในรายละเอียดเพิ่มเติมในหลักสูตรแรกของสถาบันอุดมศึกษา

ระบบการแก้ปัญหาโดยการทดแทน

การดำเนินการของวิธีการทดแทนจะถูกนำไปการแสดงออกของค่าของตัวแปรหนึ่งผ่านทางที่สอง นิพจน์ถูกแทนที่ในสมการที่เหลือจากนั้นจะถูกนำไปสู่รูปแบบด้วยตัวแปรหนึ่ง การกระทำซ้ำขึ้นอยู่กับจำนวน unknowns ในระบบ

เราให้วิธีแก้ปัญหาของตัวอย่างของระบบสมการเชิงเส้นของชั้นที่ 7 โดยวิธีการทดแทน:

ดังที่คุณเห็นจากตัวอย่างตัวแปร x ถูกแสดงออกมาผ่าน F (X) = 7 + Y การแสดงออกที่เป็นผลลัพธ์แทนในสมการที่สองของระบบในตำแหน่งของ X ช่วยให้ได้ตัวแปร Y หนึ่งตัวในสมการที่สอง การแก้ปัญหาของตัวอย่างนี้ไม่ก่อให้เกิดปัญหาและช่วยให้คุณได้รับค่าของ Y ขั้นตอนสุดท้ายคือการตรวจสอบค่าที่ได้รับ

แก้ตัวอย่างของระบบสมการเชิงเส้นการแทนที่ไม่ใช่สิ่งที่เป็นไปได้เสมอไป สมการสามารถซับซ้อนและการแสดงออกของตัวแปรผ่านที่ไม่รู้จักที่สองจะพิสูจน์ยุ่งยากเกินไปสำหรับการคำนวณต่อไป เมื่อมีมากกว่า 3 unknowns ในระบบการแทนที่ก็ไม่สมควรเช่นกัน

การแก้ปัญหาของตัวอย่างของระบบสมการไม่เท่ากันเชิงเส้น:

การแก้ปัญหาด้วยการเพิ่มพีชคณิต

เมื่อค้นหาโซลูชันของระบบด้วยวิธีการเพิ่มเติมการเพิ่มและการคูณสมการด้วยจำนวนที่ต่างกันจะถูกนำมาใช้ เป้าหมายสูงสุดของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์คือสมการที่มีตัวแปรหนึ่งตัว

สำหรับการประยุกต์ใช้วิธีนี้จำเป็นต้องมีการปฏิบัติและการสังเกตการณ์ แก้สมการเชิงเส้นของสมการเชิงเส้นด้วยวิธีการบวกสำหรับตัวแปรจำนวน 3 ตัวหรือมากกว่าไม่ใช่เรื่องง่าย การเพิ่มพีชคณิตมีความสะดวกเมื่อเศษส่วนและทศนิยมอยู่ในสมการ

ขั้นตอนวิธีแก้ไข:

1. คูณสองด้านของสมการด้วยจำนวนที่กำหนด ผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนเลขคณิตหนึ่งของตัวแปรควรมีค่าเท่ากับ 1
2. สุดท้ายเพิ่มนิพจน์ผลลัพธ์และค้นหาสิ่งที่ไม่ทราบ
3. แทนค่านี้ลงในสมการที่สองของระบบเพื่อค้นหาตัวแปรที่เหลือ

วิธีการแก้ปัญหาด้วยการแนะนำตัวแปรใหม่

ตัวแปรใหม่สามารถถูกป้อนได้ถ้าในระบบจำเป็นต้องหาทางออกสำหรับสมการไม่เกินสองแห่งจำนวนที่ไม่ทราบยังต้องไม่เกินสอง

วิธีนี้ใช้เพื่อลดความซับซ้อนของสมการโดยการป้อนตัวแปรใหม่ สมการใหม่จะได้รับการแก้ไขในส่วนที่ไม่ทราบค่าและค่าที่ได้จะถูกใช้เพื่อกำหนดตัวแปรเริ่มต้น

เห็นได้จากตัวอย่างที่ว่าด้วยการแนะนำตัวแปรใหม่ t มันเป็นไปได้ที่จะลดสมการแรกของระบบให้เป็นรูปสามเหลี่ยมมาตรฐานแบบทวิดาวน์ แก้พหุนามโดยค้นหาตัวเลือก

จำเป็นต้องหาค่าของตัวจำแนกตามสูตรที่รู้จักกันดี: D = b2 - 4 * a * c, โดยที่ D คือตัวจำแนกที่ต้องการ, b, a, c เป็นตัวคูณพหุนาม ในตัวอย่างที่กำหนด a = 1, b = 16, c = 39 ดังนั้น D = 100 ถ้าตัวจำแนกมีค่ามากกว่าศูนย์จากนั้นจะมีสองทางเลือกคือ t = -b ±√D / 2 * a ถ้าค่าความแตกต่างน้อยกว่าศูนย์แล้วค่าที่ได้คือ x = -b / 2 * a.

วิธีการแก้ปัญหาสำหรับระบบที่เกิดขึ้นจะถูกพบโดยวิธีการเพิ่มเติม

วิธีการมองเห็นสำหรับการแก้ระบบ

เหมาะสำหรับระบบที่มี 3 สมการ วิธีการนี้ประกอบด้วยการวางแผนแกนพิกัดกราฟของสมการแต่ละตัวที่เข้าสู่ระบบ พิกัดของจุดตัดกันของเส้นโค้ง u จะเป็นการแก้ปัญหาโดยทั่วไปของระบบ

วิธีการแบบกราฟิกมีจำนวนแตกต่างกัน ลองพิจารณาตัวอย่างหลาย ๆ ด้านของการแก้สมการเชิงเส้นในรูปแบบภาพ

ที่สามารถมองเห็นได้จากตัวอย่างสำหรับแต่ละเส้นตรงสองจุดถูกสร้างขึ้นค่าของตัวแปร x ถูกเลือกโดยพลการ: 0 และ 3 ขึ้นอยู่กับค่าของ x ค่า y: 3 และ 0 จุดที่มีพิกัด (0, 3) และ (3, 0) ถูกทำเครื่องหมายบนกราฟและเชื่อมต่อด้วยเส้น .

ต้องดำเนินการซ้ำสำหรับสมการที่สอง จุดตัดกันของเส้นคือการแก้ปัญหาของระบบ

ในตัวอย่างต่อไปนี้เราจำเป็นต้องหาสมการเชิงกราฟิกให้กับระบบสมการเชิงเส้น: 0.5x-y + 2 = 0 และ 0.5x-y-1 = 0

ดังที่คุณเห็นจากตัวอย่างระบบไม่สามารถแก้ปัญหาได้เนื่องจากกราฟมีเส้นขนานและไม่ตัดกันตามความยาวทั้งหมด

ระบบของตัวอย่างที่ 2 และ 3 มีความคล้ายคลึงกัน แต่ด้วยมันจะกลายเป็นที่ชัดเจนว่าโซลูชั่นของพวกเขาจะแตกต่างกัน ควรจำไว้ว่าไม่สามารถพูดได้เสมอว่าระบบมีทางออกหรือไม่ก็ตามจำเป็นต้องสร้างตารางเวลาเสมอ

เมทริกซ์และตัวแปรของมัน

เมทริกซ์ใช้เพื่อบันทึกสมการเชิงเส้นของสมการเชิงเส้นโดยย่อ เมทริกซ์นี้เรียกว่าตารางชนิดพิเศษที่เต็มไปด้วยตัวเลข เมทริกซ์ของฟอร์ม n * m มี n-rows และ m-columns

เมทริกซ์เป็นรูปสี่เหลี่ยมเมื่อตัวเลขคอลัมน์และแถวมีค่าเท่ากัน เวกเตอร์เมทริกซ์เป็นเมทริกซ์ของคอลัมน์หนึ่งที่มีจำนวนอนันต์ของแถว เมทริกซ์กับคนที่อยู่บนเส้นทแยงมุมและองค์ประกอบอื่น ๆ ของศูนย์เรียกว่าเมตริกซ์หน่วย

เมทริกซ์ผกผันเป็นเช่นเมทริกซ์คูณด้วยที่เมทริกซ์เดิมกลายเป็นเมทริกซ์เดียวเมทริกซ์ดังกล่าวมีอยู่เฉพาะสำหรับเมทริกซ์สแควร์ต้นฉบับเท่านั้น

กฎสำหรับการเปลี่ยนระบบสมการให้เป็นเมตริกซ์

สำหรับระบบสมการสัมประสิทธิ์และเงื่อนไขอิสระของสมการจะถูกเขียนเป็นตัวเลขของเมทริกซ์สมการหนึ่งคือแถวหนึ่งของเมทริกซ์

แถวของเมทริกซ์มีการกล่าวถึงว่าไม่ใช่ศูนย์ถ้าอย่างน้อยองค์ประกอบหนึ่งของสตริงไม่เป็นศูนย์ ดังนั้นถ้าในสมการใด ๆ จำนวนตัวแปรต่างกันดังนั้นจึงจำเป็นต้องเขียนศูนย์ในตำแหน่งที่ไม่รู้จักที่ขาดหายไป

คอลัมน์เมตริกซ์ต้องตรงกันอย่างเคร่งครัดตัวแปร ซึ่งหมายความว่าค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร x สามารถเขียนได้เฉพาะในคอลัมน์เดียวเท่านั้นเช่นค่าแรกค่าสัมประสิทธิ์ของ y ที่ไม่รู้จักมีเฉพาะในคอลัมน์ที่สองเท่านั้น

เมื่อเมทริกซ์ถูกคูณจำนวนองค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์จะคูณด้วยจำนวน

ตัวแปรของการหาเมทริกซ์ผกผัน

สูตรสำหรับการค้นหาเมทริกซ์ผกผันค่อนข้างง่าย: K^-1= 1 / | K | โดยที่ K^-1 เป็นผกผันของเมทริกซ์และ | K | เมทริกซ์ปัจจัย | K | ไม่ควรเป็นศูนย์แล้วระบบมีทางออก

ตัวกำหนดสามารถคำนวณได้ง่ายสำหรับเมทริกซ์แบบสองตัวต่อหนึ่งเมตริกซ์เพียงอย่างเดียวคือจำเป็นต้องคูณองค์ประกอบในแนวทแยงมุมเท่านั้น สำหรับตัวแปร "สาม by สาม" สูตร | K | = a₁ข₂ค₃ + a₁ข₃ค₂ + a₃ข₁ค_{2 +} ก₂ข₃ค₁ + a₂ข₁ค₃ + a₃ข₂ค₁... คุณสามารถใช้สูตรหรือทำได้จำไว้ว่าคุณต้องใช้องค์ประกอบหนึ่งจากแต่ละแถวและแต่ละคอลัมน์เพื่อไม่ให้จำนวนคอลัมน์และแถวขององค์ประกอบซ้ำกันในงาน

เฉลยตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นโดยวิธีเมทริกซ์

วิธีเมทริกซ์ในการค้นหาโซลูชันช่วยให้สามารถลดเร็กคอร์ดที่ยุ่งยากเมื่อแก้ระบบที่มีตัวแปรและสมการจำนวนมาก

ในตัวอย่างก_{นาโนเมตร} - สัมประสิทธิ์ของสมการเมทริกซ์ - เวกเตอร์ x_n - ตัวแปรและ b_n - สมาชิกฟรี

ถัดไปคุณต้องหาเมทริกซ์ผกผันและคูณต้นฉบับด้วย การหาค่าของตัวแปรในเมทริกซ์หน่วยผลลัพธ์เป็นเรื่องง่าย

การแก้ปัญหาระบบ Gaussian

ในคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นจะมีการศึกษาวิธีเกาส์ร่วมกับวิธีการของ Cramer และกระบวนการค้นหาวิธีแก้ปัญหาระบบเรียกว่าวิธีการแก้ปัญหา Gauss - Cramer วิธีการเหล่านี้ใช้เพื่อค้นหาระบบตัวแปรที่มีสมการเชิงเส้นจำนวนมาก

วิธี Gaussian คล้ายกับการแก้ปัญหาด้วยการแทนที่และการบวกพีชคณิต แต่เป็นระบบมากขึ้น ในหลักสูตรของโรงเรียนโซลูชัน Gaussian ใช้สำหรับระบบสมการ 3 และ 4 เป้าหมายของวิธีการนี้คือการทำให้ระบบมีลักษณะเป็นสี่เหลี่ยมคางหมูกลับหัว โดยการแปลงทางพีชคณิตและการแทนที่ค่าของตัวแปรหนึ่งจะพบในสมการอย่างใดอย่างหนึ่งของระบบ สมการที่สองคือนิพจน์ที่มี 2 ตัวที่ไม่รู้จัก แต่ 3 และ 4 - ตามลำดับมี 3 และ 4 ตัวแปร

หลังจากนำระบบไปสู่รูปแบบที่อธิบายวิธีการแก้ปัญหาเพิ่มเติมจะลดลงเป็นการแทนที่ตามลำดับของตัวแปรที่รู้จักในสมการของระบบ

ในหนังสือเรียนของโรงเรียนสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ตัวอย่างการแก้ปัญหาโดยวิธีเกาส์มีการอธิบายไว้ดังนี้:

ดังที่เห็นได้จากตัวอย่างในขั้นตอนที่ (3) ได้สมการสองสมการ 3x₃-2x₄= 11 และ 3x₃+ 2x₄= 7. การแก้สมการใด ๆ จะช่วยให้คุณหาตัวแปร x ตัวใดตัวหนึ่งได้_n.

ทฤษฎีบท 5 ซึ่งกล่าวถึงในข้อความกล่าวว่าถ้าหนึ่งในสมการของระบบถูกแทนที่ด้วยสมการที่เทียบเท่าระบบผลลัพธ์ก็จะเทียบเท่ากับสมการดั้งเดิมด้วย

วิธีเกาส์เซียนเป็นเรื่องยากสำหรับนักเรียนที่จะรับรู้มัธยมปลาย แต่เป็นอีกวิธีหนึ่งที่สนุกกว่าในการพัฒนาสติปัญญาของเด็ก ๆ ในชั้นเรียนคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ขั้นสูง

เพื่อความสะดวกในการบันทึกการคำนวณเป็นเรื่องปกติที่จะต้องทำสิ่งต่อไปนี้:

สัมประสิทธิ์ของสมการและเงื่อนไขฟรีเขียนในรูปของเมทริกซ์โดยที่แต่ละแถวของเมทริกซ์สัมพันธ์กับสมการอย่างใดอย่างหนึ่งของระบบ แถบแนวตั้งจะแยกด้านซ้ายของสมการออกจากด้านขวา ตัวเลขโรมันแสดงจำนวนสมการในระบบ

ก่อนอื่นให้เขียนเมทริกซ์ที่ทำงานแล้วการดำเนินการทั้งหมดจะดำเนินการด้วยบรรทัดใดบรรทัดหนึ่ง เมทริกซ์ผลลัพธ์จะถูกเขียนขึ้นหลังเครื่องหมายลูกศรและการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตที่จำเป็นจะดำเนินต่อไปจนกว่าจะได้ผลลัพธ์

ด้วยเหตุนี้จึงควรหาเมทริกซ์ซึ่งหนึ่งในเส้นทแยงมุมคือ 1 และค่าสัมประสิทธิ์อื่น ๆ ทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์นั่นคือเมทริกซ์จะถูกทำให้อยู่ในรูปแบบเดียว อย่าลืมทำการคำนวณด้วยตัวเลขทั้งสองด้านของสมการ

วิธีการบันทึกนี้ยุ่งยากน้อยกว่าและช่วยให้คุณไม่ต้องเสียสมาธิจากการจดรายการสิ่งที่ไม่รู้จักมากมาย

การใช้โซลูชันใด ๆ ฟรีจะต้องได้รับการดูแลและประสบการณ์บางอย่าง ไม่ใช่ทุกวิธีที่มีลักษณะประยุกต์ วิธีการหาวิธีแก้ปัญหาบางวิธีเป็นที่นิยมมากกว่าในกิจกรรมอื่น ๆ ของมนุษย์ในขณะที่วิธีอื่น ๆ มีไว้เพื่อจุดประสงค์ในการฝึกอบรม